| Definition (und Rezept) | |||
Eine Richtung in einem Gitter wird durch drei ganze Zahlen indiziert, indem | |||
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Mathematische Beschreibung von Richtungen
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Wir brauchen eine Notation, die uns erlaubt, bestimmte Richtungen und Ebenen in einem beliebigen Gitter eindeutig anzusprechen, d.h. eine mathematische Formulierungen für Aussagen wie "entlang der Flächendiagonalen" oder "auf der Würfelebene". | |||||||||||||
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Man könnte mehrere Arten von Rezepten angeben, mit denen man eine Richtung (d.h. einen Vektor) oder eine Ebene in einem Gitter eindeutige indizieren kann. Es gibt aber ein besonderes System, die sogenannten Miller Indices, die zwar vielleicht nicht sofort einleuchten, mit denen man aber (später) sehr bequem rechnen kann. | |||||||||||||
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Wir betrachten zunächst die Miller Indizierung für Richtungen: | |||||||||||||
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In dem unten gezeigten zweidimensionalen Gitter erhalten die Richtungen 1 - 5 damit folgende Miller Indizierung | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Ausgesprochen wird z.B. die <110>-Richtung nicht als "einhundertzehn Richtung", sondern als "eins, eins, null Richtung". | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Damit ist die Systematik bei spezifischen Richtungen klar. Wir müssen nur noch die Bedeutung der "Gesamtheit aller kristallographisch gleichwertigen Richtungen" klären, d.h. wann wir [...] Klammern verwenden | |||||||||
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Wir schauen uns das in einem dreidimensionalen kubischen Gitter an und lernen dabei gleich die Indizierung der wichtigsten Richtungen (die man "auswendig" kennen muß) im kubischen Gitter kennen | |||||||||
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Anschließend eine kleine Übungsaufgabe | |||||||||
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Was kristallographisch gleichwertig ist, hängt vom Gittertyp ab! | |
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Im kubischen Gitter sind alle möglichen Permutationen (inkl. Negation) der Indizes immer gleichwertig; aber schon im hexagonalen Gitter gilt das nicht mehr. | |
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Andererseits sind gerade im hexagonalen Gitter Richtungen kristallographisch gleichwertig, die verschiedene Miller-Indizes haben. Die in der Basisebene liegenden Richtungen, die zu den Ecken des gleichseitigen Sechseckes zeigen, das die Basisebene definiert, haben Indizes wie z.B. <110>, <100>, <010>, .... . (Wer das nicht versteht, hat die Übungsaufgabe nicht gemacht!) Für Ebenen (siehe unten) ist es ähnlich. | |
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Man hat deshalb für das hexagonale Gitter (das in der Praxis sehr wichtig ist), eine eigene Abart der Miller-Indizes erfunden, die auch in diesem Fall die vorhandenen Symmetrien direkt aufzeigt: Man nimmt einfach zu den Basisvektoren a1, a2 und c noch einen weiteren (an sich unnötigen) Basisvektor dazu, der als a3 = – (a1 + a2) definiert wird und indiziert dann mit 4 Indizes. | |
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Aus den oben aufgezählten Richtungen wird dann <112'0>, <21'1'0>, <1'21'0>; die Symmetrie in den Indizes wird sichtbar. | |
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Wir wollen uns damit aber nicht weiter befassen; alles Wissenswerte zur Vierer-Indizierung bei hexagonalen Gittern findet sich im Link | |
Mathematische Beschreibung von Ebenen im Gitter
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Wir brauchen jetzt eine Notation, die uns erlaubt bestimmte Ebenen in einem beliebigen Gitter eindeutig anzusprechen, zum Beispiel die "Würfelseite" bei einem kubischen Gitter, oder die "Basisebene" bei einem hexagonalen Gitter. | |||||||||||||
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Man könnte sich zunächst denken, daß man dafür das Zahlentripel nehmen könnte (evtl. auf kleinste ganze Zahlen reduziert), das sich aus den Schnittpunkten einer Ebene mit den Basisvektoren des Gitters ergibt - wie bei den Richtungen | |||||||||||||
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Könnte man auch, aber es gibt nicht immer einen Schnittpunkt. Die Würfelseite eines kubischen Gitters schneidet immer nur einen der Basisvektoren; zu den anderen liegt sie parallel (bzw. enthält sie). | |||||||||||||
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Deshalb, aber auch aufgrund anderer Vorzüge die wir noch kennenlernen wollen, wählt man eine etwas umständlichere Definition: | |||||||||||||
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Dazu drei Beispiele, die absichtlich etwas unklar gezeichnet sind, um nicht sofort falsche Assoziationen hervorzurufen. Insbesondere ist es wichtig sich klarzumachen, daß mathematische Ebenen in einem mathematischen Gitter ¥ ausgedehnt sind. Die Begrenzungslinien sind also immer nur zeichentechnisch bedingt. | |||||||||||||
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Wichtig ist: Alle äqivalent Ebenen haben die gleiche Indizierung. Das Kürzel (112) bezeichnet also nicht eine Ebene, sondern ¥ viele parallel laufende Ebenen; {112} mehrere Sätze ¥ vieler parallel laufender Ebenen | |||||||||
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Eigentlich ist damit alles gesagt; vielleicht ist noch der Hinweis hilfreich, daß man bei hexagonalen Gittern natürlich auch bei den Ebenen eine Vierer-Indizierung wie bei den Richtungen einführt. | |||||||||
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Erfahrungsgemäß wird der Anfänger (und nicht selten auch der Experte) beim Arbeiten mit den Miller Indizes von Ebenen aber Probleme haben und Fehler machen. Deshalb hier noch einige Bemerkungen. | |||||||||
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Eine gewisse Konfusion kann entstehen, weil es
in der Kristallographie eigentlich zwei
Konzepte von Ebenen gibt:
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Man redet im letzteren Fall auch gerne von Kristallebenen. Die {111} - Kristallebene in einem Diamantgitter enthält dann beide Atome der Basis. | |||||||||
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Ähnlich ist es, wenn man eine mathematisch definierte Ebene in einen Kristall, und nicht in ein Gitter einzeichnen will. Im Si-Kristall kann man beispielsweise eine {111} Ebene auf zwei Weisen durch Atome legen; sie erscheint damit als nicht eindeutig definiert. | |||||||||
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Hat man obige Punkte nicht ganz sauber verstanden, wird man leicht falsche Zahlen generieren, wenn man z.B. die Zahl von Atomen pro cm2 auf einer Ebenen ausrechnet, denn jetzt muß man die Ebene im Gitter mit dem Kristall, d.h. auch mit der Basis kombinieren. | |||||||||
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Triviale Fehler sind, als allgemeine Ebene nur eine Ebene zu sehen und nicht die Gesamtheit aller äquivalenten Ebenen, oder zu glauben, daß z.B. die {200} Ebenen nur die sind, die zwischen den {100} Ebenen stecken. Hier kommt obige Bemerkung zurm Tragen, daß nicht gekürzt werden darf. Die {200}-Ebenen sind etwas anderes als die {100}-Ebenen! Das ist hier illustriert: | |||||||||
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Man hat immer die Tendenz, Beziehungen, Regeln und Vorstellungen, die von kubischen Gittern geprägt worden sind, kritiklos auf nichtkubische Systeme zu übertragen. Das kann sehr falsch werden! Zum Beispiel sind in nichtkubischen Kristallen nicht alle Ebenen zu den möglichen Indizespermutationen kristallographisch gleichwertig. | |||||||||
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Dies gilt selbst bei kubischen Kristallen, wenn man nicht die mathematische Ebene, sondern die mit Atomen belegte Kristallebene betrachtet. Wenn man die (111) Ebene oder die (1'1'1') Ebene in z.B. GaAs oder SiC betrachtet, sieht man einen großen Unterschied: Auf der einen Ebenen sitzen Ga- oder Si- Atome, auf der anderen As- bzw. C-Atome. Dies sieht nicht nur anders aus, sondern führt oft zu dramatischen Unterschieden der Eigenschaften. Bei der Züchtung von SiC Kristallen erhält man völlig verschiedene Strukturen, wenn man einen Kristall auf der (111)- oder (1'1'1')-Ebene eines Keimlings wachsen läßt (vereinfacht gesagt wird das SiC in einem Fall kubisch, im anderen hexagonal - bei immer kubischem Keimling!). | |||||||||
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Offensichtlich muß hier geübt werden! | |||||||||
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Rechnen mit Miller Indices
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Wir können bereits einige Vorteile (aber noch längst nicht alle) der auf den ersten Blick etwas seltsamen Miller Indices ableiten und verwenden. Im folgenden sind sie nur postuliert und aufgelistet; die Ableitungen und Beweise sind in die Übung 3.2-3 verlegt. | |||||||||
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Kristallographisch äquivalente Richtungen und Ebenen haben immer den gleichen Satz an Miller Indizes. | |||||||||
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Die Richtung <hkl> steht immer senkrecht auf der Ebenen (hkl). | |||||||||
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Die Abstände dhkl zwischen zwei benachbarten Ebenen sind direkt aus den Indizes berechenbar. Die Formeln für nichtkubische Gittersysteme können etwas kompliziert sein, aber im kubischen Gittersystem gilt ganz einfach: | |||||||||
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In der "Einführung in die Materialwissenschaft II" werden wir sehen, daß die Miller Indizes noch weiterführen. Zum Beispiel treten sie direkt in den Formeln auf, die die Beugung von Wellen, z.B. Röntgenstrahlen, in Kristallen beschreiben. Aber zunächst wollen wir die obigen Beziehungen einüben | |||||||||
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