3. Perfekte Kristalle

3.1 Was sind Kristalle?

3.1.1 Allgemeines zu Kristallen und amorphen Festkörpern

Ein fester Körper besteht aus unbeweglichen, fest miteinander verbundenen Atomen - sonst hätten wir eine Flüssigkeit oder ein Gas.

Im einfachsten Fall nur einer Atomsorte können wir uns den Festkörper - z.B. die elementaren Metalle, oder einen Diamanten - als Anordnung von Kugeln vostellen, die sich berühren müssen, d.h. gegenseitige Bindungen aufweisen.

Damit gibt es nur zwei Möglichkeiten einer raumfüllenden Anordnung:

Eine streng regelmäßige Struktur = kristalliner Aufbau,
wie hier schematisch und zweidimensional gezeigt

Eine regellose Struktur = amorpher Aufbau

Die amorphe Struktur zeigt deutlich weniger Raumerfüllung - die Zahl der Atome pro cm² ist geringer als in der kristallinen Struktur, im Kristall. Dies gilt auch im Dreidimensionalen. Die größte Dichte von Kugeln pro cm³; die sogenannte dichteste Kugelpackung , ist nur im kristallinen Zustand erreichbar.

Dieses Theorem ist gar nicht so einfach streng mathematisch zu beweisen; es leuchtet jedoch sofort ein, wenn man selbst Bilder wie das oben gezeigte malt.

Nur im kristallinem Aufbau sind maximale Bindungsstärken und damit maximale Absenkungen der Gesamtenergie möglich, denn nur dann berühren sich möglichst viele Kugeln im Bindungsabstand r₀. Das Bild des amorphen Zustands ist nur zeichenbar, wenn man immer wieder den Abstand zwischen zwei Kugeln größer als r₀ zeichnet, d.h. die Kugeln sich nicht berühren läßt.

Das Prinzip der Minimierung der Gesamtenergie sagt uns damit unzweideutig, daß zumindest alle Elemente mit überwiegend ungerichteter Metallbindung als Kristalle vorliegen sollten.

Für die Ionenbindung muß dies ebenso gelten, wir erhalten Ionenkristalle zumindest für nur zwei Atomsorten.

Bei kovalenten Bindungen ist Vorsicht geboten; da hier auch ein- und zweidimensionale Bindungstypen vorliegen können und damit Aussagen über dreidimensionale Anordnungen nicht ohne weiteres möglich sind.

Diese grundsätzlichen Überlegungen gelten auch dann noch, wenn wir statt Kugeln (= Atome) etwas komplexere Baublöcke nehmen, z.B. einfache Moleküle.

Bergkristall, also kristallines SiO₂, kommt beispielsweise kristallin oder amorph vor. In der vereinfachten zweidimensionalen Darstellung sieht das etwa so aus:

Die kristalline Struktur hat deutlich erkennbar die höhere Packungsdichte. Das ist damit auch die beste Struktur für die perfekte Substanz, den vollständig perfekten und reinen Bergkristall.

Der amorphe Quarz bietet aber weiteren Fremdatomen, z.B. Na, K, Ca, B, ..., viel Platz in den großen Zwischenräumen der amorphen Struktur (in obiger Graphik angedeutet). Für reale und i.d.R. "dreckige" Materialien mag dies ein Vorteil sein.

Baut man, wie im Bild gezeigt, Na oder andere Verunreinigungsatome in nennenswerten Mengen in SiO₂ ein, erhält man amorphes Fensterglas, ein sehr nützliches Material.

Wie kann man Kristalle formal beschreiben? Was heißt "regelmäßiger Aufbau" in der Sprache der Mathematik? Dazu schauen wir die beiden obigen Prinzipbilder noch einmal genauer an.

Kristall	Amorph
Schematische Darstellung	Schematische Darstellung
Aus der bekannten Position einiger Atome läßt sich die Position aller anderen Atome berechnen	Aus der bekannten Position einiger Atome läßt sich die Position aller anderen Atome nicht berechnen
Entlang einer Linie, die durch die Zentren zweier beliebiger Atome führt, lassen sich die Wahrscheinlichkeiten, bei einer beliebigen Position ein Atom zu finden, durch d - Funktionen angeben	Entlang einer beliebigen Linie, läßt sich die Wahrscheinlichkeiten, bei einer beliebigen Position ein Atom zu finden, durch eine radiale Verteilungsfunktion angeben, die bei kleinen Abständen vom Ursprung Maxima bei n · r₀ hat und bei größeren Abständen vom Ursprung konstant wird

Es existiert eine Nah- und Fernordnung	Es existiert nur eine beschränkte Nahordnung
Es existiert eine Translationssymmetrie	Es existiert keine Translationssymmetrie

Das ist natürlich die ideale Welt (wir sind hier im Kapitel "Perfekte" Kristalle). In der realen Welt wird die radiale Verteilungsfunktion gemessen, und was sich ergibt kann irgendetwas zwischen ideal kristallin und ideal amorph sein.

Der Link zeigt ein Beispiel dazu aus ganz aktueller (Nov. 2001) Forschung.

Das Schlüsselwort ist Symmetrie. Es bedeutet, daß sich Eigenschaften eines Systems unter bestimmten Operationen nicht ändern. Für den kristallinen Aufbau, soweit wir ihn bereits kennen, herrscht offensichtlich Translationssymmetrie.

Translationsymmetrie heißt: Ein Kristall "ändert" sich nicht, wenn alle Atome um bestimmte Werte x₀, y₀, z₀ verschoben wird. In anderen Worten, es ist egal wo wir den Ursprung eines Koordinatensystems hinlegen, solange er an einem "Symmetriepunkt" sitzt. "Egal" heißt dabei, daß man in keiner Eigenschaft einen Unterschied "sieht", unabhängig davon in welchem der mögliche Ursprünge man sitzt. (Wir behandeln hier natürlich den mathematischen Idealfall des unendlich ausgedehnten Kristalls ohne Oberflächen).

Ein Kristall ändert sich möglicherweise auch nicht - für unsere zweidimensionale Kristalle ist das sofort nachvollziehbar - wenn man ihn um bestimmte Winkel dreht, an bestimmten Ebenen spiegelt oder relativ zu einem gegebenen Punkt invertiert (d.h. alle Vektoren r vom Aufpunkt aus zu einem Atom durch – r ersetzt).

Wir erwarten damit noch weitere Symmetrien: Rotationssymmetrie, Spiegelsymmetrie, Inversionssymmetrie.

Damit sind Kristallstrukturen mathematisch erfaßbar. Das Vorgehen dabei ist wie folgt:

Zuerst betrachten wir eine rein mathematische Konstruktion: Das Punktgitter oder kurz Gitter. In ihm sind mathematische Punkte so angeordnet, daß sie zumindest eine Translationssymmetrie besitzen. Das Punktgitter ist ein mathematisches Objekt und damit kein Kristall; denn ein Kristall ist ein physikalisches Objekt, er bedarf der Atome!

Vom Punktgitter zum Kristall kommt man, indem jedem Punkt des Punktgitters ein Baustein des Kristall zugeordnet wird, die sogenannte Basis. Das kann ein einziges Atom sein, aber auch Verbände oder Moleküle von hunderten von Atomen.

Damit folgt eine sehr wichtige Definition:

Kristall = Gitter + Basis

Diese Definition ist einerseits eine Trivialität, anderseits wird sie immer wieder gerne vergessen. Wenn man z.B. danach fragt, wieviel Atome pro cm²auf einer Kristallebene sitzen (was eine Kristallebene ist werden wir gleich sehen), und dabei Atome mit den Punkten des Punktgitters verwechselt, kann das Ergebnis sehr falsch sein!